カズキの素数研究ブログ

主に私なりに考えた素数の事を書いていきたいと思います。ただの素数好きのオッサンですので気軽にコメントして下さい!

双子素数が無限に存在する事の証明!

双子素数が無限に存在する事の証明は以前からYouTubeにあげていますが、
最近もっと簡単でわかりやすく証明できる方法を思いついたので、書かせて頂きます。
(間違いがありましたので、お詫びして訂正します。申し訳ありません。)

想像するか、紙に書いてみて下さい。
まず自然数を一直線に並べて、素数を白、それ以外を黒とします。
同じ物をもう一つ用意してマイナス2
だけずらして重ねて見てください。
白と白が重なる所が双子素数のペアの小さい方になります。
これは双子素数の差が2のためです。

素数の個数の求め方はx/ln(x)ですが、
これはもともと、
x(1―1/2)(1―1/3)(1―1/5)…でこの中の―1/2や―1/3は
素数の倍数を次々と引いているという意味です。
これに先ほどの―2ずれた物を重ねると言うことは、
素数をPとすると、Pの倍数とPの倍数―2の所も引くことになります。
と言うことは、
素数3以上は引くところが2倍になるので、
x(1―1/2)(1―2/3)(1―2/5)…   ①
となります。
これはx内の双子素数のペアの小さい方の個数を近似しています
素数定理の様に十分大きなxでは誤差の割合も小さくなっていきます。
と言うことは、x+2内の双子素数の個数を近似していると言うことです。

そしてこの①の式のかっこ内を計算すると
x(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)…     ②

となりますが、これは素数の差が2の時に前の分母と後ろの分子で約分できます。
②の式の素数の間の奇数を(奇数―2)/奇数
という形で掛けてみます。

すると、
x/2P
(Pは√(x+2)以下の最大の素数)
という式になります。

これはx個の自然数の中にx/2P個以上の双子素数が存在する事を意味してます。

そこで、xを2当分して大きい方の範囲をyとします。yの中にある双子素数の個数は、
xの時の様に√(x+2)以下の素数全てで
y(1―1/2)(2/3)…(1―2/P)
という形で求めます。

そして同じ様にy/2Pという形に変形します、yはx/2なので
y/2P=x/4Pとなり、yの中の双子素数の個数より小さい値を表しますが、
この値はxが12以上で必ず1以上になります。
yがどんなに大きくなってもそこに双子素数が存在する事がわかります。




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