カズキの素数研究ブログ

主に私なりに考えた素数の事を書いていきたいと思います。ただの素数好きのオッサンですので気軽にコメントして下さい!

ゴールドバッハ予想の証明!

ゴールドバッハ予想について証明したいと思います。(少し解りやすく手直ししました、内容は同じです。2017/05/30)


ゴールドバッハ予想とは

全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる

という予想です。

結論から言うと、


偶数を2nとすると、nが6以上のとき、2nを構成する素数P(a)、P(b)の組数は

n/2P(x) 以上存在する。

(P(x)は、√(2n―2)内の最大の素数
2nの範囲はP(x)2^+3≦2n≦P(x+1)^2+1)

ということがわかりました。


この式は必ず1以上になります。
なぜこの式になるのか証明します。

偶数を2n として、2nを構成する素数をP(a)、P(b)とします。

0からP(a)、2nからP(b)の距離は同じですので、0からnまでの素数の出現の仕方と2nからnの方向へのの素数の出現の仕方、両方を満たす素数が2nを構成する素数P(a)、P(b)となります。

(nを折り目にして半分に折り、0と2nを合わせるイメージ)


0からn、2nからnの中の素数の個数を考えてみます、
(素数定理オイラー積の考えと同じです)

0からnのときは√n以下の最大の素数をP(y)とし、P(1)~P(y)までの素数までを使って考えます。

0からnの場合は
(1―1/2)(1―1/3)…(1―1/P(y))…①

2nからnの場合は√(2n―2)以下の最大の素数をP(x)とし、P(1)~P(x)までを使って考えます。
(2nではなく2n―2の理由は2n―1が1とのペアになる為です)


0から2nと2nから0の共通の値を求める時には2nがP(1)~P(x)までの素数の倍数かどうかで変わってきます。
P(x)とP(y)が等しく2nがP(1)~P(x)までの全ての素数の倍数の場合、組数は

n が偶数の場合、n×①―1
nが奇数の場合、(n+1)×①―1

で2n内の組数の近似が得られます。

(実際の組数は素数の倍数の1番目は素数で倍数に含めない為、ペアになる所が増える場合があります。また、①から―1するのは0と2nを重ねて考えるとき、自然数1は倍数ではないのでのこりますが、素数でもないのでペアにならない為です。奇数の時nに+1するのは折り重ねた時にnはn一つで一組と数えられるからです。)

*実際は条件通りだと2nが10か24の時しかありませんが、
素数の倍数とそうでない所を分けると条件通りなら、真ん中(つまりnの所)で左右対象になっています。
あくまでも素数も倍数に含めた場合ですが、
nで折り曲げて重ねると素数の倍数とそうでない所は重なります。
素数の倍数でない所は新しい素数同士のペアになっています、求め方は素数定理と同じですが1の部分はペアにならないため―1します。
(例)2n=24、P(y)=3
12×1/2×2/3―1
=3
となります。

2nが素数の倍数でない場合(必ず2の倍数ではありますが)0からと2nからの倍数の消える所が異なる為、

2nの約数になってない素数がある場合は、
①の式の
(1―1/P)が(1―2/P)

となります。

また、P(x)とP(y)が異なる時は、
①の式の
P(y)までの素数の2nの約数になってない素数の所のみ
(1―1/P)が(1―2/P)になります。

(例) 2nが100の場合
P (y)=5、P(x)=7
求める組数をf(x)とすると、

f(x)≒50×(1/2)×(1/3)×(4/5)×(6/7)―1
≒4.71

実際の組数は6

実際の値より少し誤差がありますが、
理由は、P(1)~P(x)の素数のペアをカウントしてないのと、約数になってない素数で割ると割りきれない為です。

これでf(x)をざっくりと計算できますが全ての2nに当てはめるのは大変なので、f(x)以下で1以上になるように変形します。
P(2)~P(x)の全てが2nの約数になってないと考えると①の式が

(1―1/2)(1―2/3)…(1―2/P(x)) …②
となり、かっこ内を計算すると

1/2×1/3×3/5×5/7…P(x)―2/P(x)
となりますが、これは素数の差が2の時に前の数の分母と次の数の分子で約分できる事がわかります。

そこで素数の間の奇数も
(奇数―2)/奇数
という形で掛けてみます。

するとP(x)が大きくなるほど計算式の答えは小さくなりますが、こうなります

(1/2)×(1/3)×(3/5)×(5/7)×(7/9)×(9/11)…

これだと途中全てが約分できるので

1/2×1/P (x)
=1/2P(x)
となります、最後に―1するところは1とのペアが素数かどうかで決まりますが、数が十分大きい時には誤差の割合的には無視できるほど小さくなっているので省きます。

これにnを掛けると

n/2P(x)となり、
2nの最小はP(x)^2+3なのでnの最小は(P(x)^2+3)/2
2Pで割ると(P(x)^2+3)/4P(x)となり、
これはPが3以上、つまりnが6以上の時に1以上になります。

2n内の素数のペアの数はそれ以上なので
ゴールドバッハ予想は正しい事がわかります。


素数定理はおおよその個数を求める公式ですが、その元になる
n(1―1/2)(1―1/3)(1―1/5)…(1―1/P(y))
は、n個並んでいる自然数から素数の倍数を取り除いていくという意味があります。P(y)までの素数自身も取り除いてしまっているのと、P(y)までの素数でnの約数になってない素数はnを割りきれないことと、1は素数ではないが取り除いていない事が誤差の原因です。
素数の倍数を取り除くと言うことは、素数2
の場合、n全体を2aと2a+1に分け、2aを取り除いているため
1―1/2となっています。他の素数も同じです。
ゴールドバッハ予想を考えるとき、
0から2nまでをnで折り曲げたときにnの約数になってない素数は取り除く部分が2倍になるのは、
例えば、2nが100の場合で素数が3を考えると、
0からnをみると3aが3の倍数ですが、
2nからn方向だと3a―2が3の倍数になっています。
3aと3a―2の二つを取り除くので
1―2/3
となります。
素数定理と原理は同じなのでnを大きくすると誤差の比率は小さくなります。
そして、n/2Pはnが大きくなるほど実際の数値とは差が出ます。
組数f(n)は
n/2P < f(n) < n/ln(n)
の範囲で増減しながら少しずつ大きくなります。
増減するのはP(y)までの素数がnの約数になってるかどうかで変わります、約数になってる素数が多い程組数は多くなります。

以上で証明を終わります。

excel VBA 数学教室のBlog cat様より、
ゴールドバッハ予想における2nの偶数を構成する素数ペアの数値解析の途中経過を記事にしていただきました!

素数のペアの個数をグラフで見ることができます。
証明がより理解しやすくなると思いますので、是非見てください!

excel VBA 数学教室
[特別研究記事] 偶数を構成する素数ペアの数値解析
http://excelmath.atelierkobato.com/prime-pair/#comment-226