カズキの素数研究ブログ

主に私なりに考えた素数の事を書いていきたいと思います。ただの素数好きのオッサンですので気軽にコメントして下さい!

フォーチュン予想についての考察

フォーチューン予想について

フォーチュン数(Fortunate number)は、ある自然数 n に対して、pn# + m が素数となるような最小の整数 m (ただしmは1より大きい)のことである(pn# は素数階乗)。
レオ・フォーチュンに因む。
(Wikipediaより)

このフォーチュン数が全て素数だろう、というのがフォーチュン予想です。

これについて書いていきたいと思います。



素数P(1)からP (x)の全ての素数の倍数をAとします。

自然数からAを取り除いたものをBとします。

B(b)はP(x)より大きな素数と、P(x)より大きな素数を掛け合わせた合成数と1で構成されています。

A はP(1)~P(x)の倍数
BはP(x)より大きな素数と、P(x)より大きな素数を掛け合わせた合成数と1

P(1)~P(x)の積(公倍数)をCとします

AとBの出現パターンは1~Cまでの範囲で繰り返します。

例えば、方眼用紙に自然数を順番に並べAを黒、Bを白と分けてみると、白黒の柄はCまでの幅の柄が繰り返しあらわれます。

Cより2以上の数を足して最初に出てくる素数をP (y)、
P (y) - C = b とすると、
bはBの中のどれかになるのですが、なぜ素数にしかならないかを考えると、

仮にb が合成数の場合、bはP(x)より大きな素数同士の積になりますが、その為にはP(x)とbの間の素数にCを足した数が全てP(x)より大きな素数同士の積にならなければなりません。(もしならなければそこがP (y)になるからです)

P(x)以上の素数の倍数全てをDとすると、Dの間隔はBの間隔より大きいため、P(x)とbの間の素数にCを足した数全てを埋めれないため、bは素数なのだと確信はあるのですが、なかなか上手く証明できません。