カズキの素数研究ブログ

主に私なりに考えた素数の事を書いていきたいと思います。ただの素数好きのオッサンですので気軽にコメントして下さい!

ブログを読んで下さった方へのお願い。

こんにちは、カズキです。

このブログを読んで感想や疑問ありましたらコメント欄に気軽に書き込んで下さい!

また、是非お知り合いに素数好きな方がいたら、このブログを教えて頂けると嬉しいです。  

基本的に高校1年くらいまでしか数学の勉強してなかったのですが、この2年くらいは素数で頭が一杯になって自分なりに調べてきました。

学会に出したら?という意見もあるのですが、ただの素人好きのオッサンなので論文(まして英語で)の書き方やどうやって世の中に伝えたらいいのかがわかりません。

なんとか世界を変えたいと思っています。

アドバイスなどありましたら嬉しいです。


どうか私に力を貸して下さい!

双子素数が無限に存在する事の証明!

双子素数が無限に存在する事の証明は以前からYouTubeにあげていますが、
最近もっと簡単でわかりやすく証明できる方法を思いついたので、書かせて頂きます。
(間違いがありましたので、お詫びして訂正します。申し訳ありません。)

想像するか、紙に書いてみて下さい。
まず自然数を一直線に並べて、素数を白、それ以外を黒とします。
同じ物をもう一つ用意してマイナス2
だけずらして重ねて見てください。
白と白が重なる所が双子素数のペアの小さい方になります。
これは双子素数の差が2のためです。

素数の個数の求め方はx/ln(x)ですが、
これはもともと、
x(1―1/2)(1―1/3)(1―1/5)…でこの中の―1/2や―1/3は
素数の倍数を次々と引いているという意味です。
これに先ほどの―2ずれた物を重ねると言うことは、
素数をPとすると、Pの倍数とPの倍数―2の所も引くことになります。
と言うことは、
素数3以上は引くところが2倍になるので、
x(1―1/2)(1―2/3)(1―2/5)…   ①
となります。
これはx内の双子素数のペアの小さい方の個数を近似しています
素数定理の様に十分大きなxでは誤差の割合も小さくなっていきます。
と言うことは、x+2内の双子素数の個数を近似していると言うことです。

そしてこの①の式のかっこ内を計算すると
x(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)…     ②

となりますが、これは素数の差が2の時に前の分母と後ろの分子で約分できます。
②の式の素数の間の奇数を(奇数―2)/奇数
という形で掛けてみます。

すると、
x/2P
(Pは√(x+2)以下の最大の素数)
という式になります。

これはx個の自然数の中にx/2P個以上の双子素数が存在する事を意味してます。

そこで、xを2当分して大きい方の範囲をyとします。yの中にある双子素数の個数は、
xの時の様に√(x+2)以下の素数全てで
y(1―1/2)(2/3)…(1―2/P)
という形で求めます。

そして同じ様にy/2Pという形に変形します、yはx/2なので
y/2P=x/4Pとなり、yの中の双子素数の個数より小さい値を表しますが、
この値はxが12以上で必ず1以上になります。
yがどんなに大きくなってもそこに双子素数が存在する事がわかります。




オススメ記事!
ゴールドバッハ予想の証明!
http://prime-number.hateblo.jp/entry/2017/05/24/224201

ゴールドバッハ予想における2nを構成する素数の組数を近似する公式

私の考えたゴールドバッハ予想における2nを構成する素数の組数を近似する公式です。


n/ln(2n)×∏(P(a)―2)/(P(a)―1)

但し、P(a)はnの約数になってない素数
P(a)の範囲は 3≦P(a)^2≦n―2 で
∏はその全ての積です。

ゴールドバッハ予想の証明!

ゴールドバッハ予想について証明したいと思います。(少し解りやすく手直ししました、内容は同じです。2017/05/30)


ゴールドバッハ予想とは

全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる

という予想です。

結論から言うと、


偶数を2nとすると、nが6以上のとき、2nを構成する素数P(a)、P(b)の組数は

n/2P(x) 以上存在する。

(P(x)は、√(2n―2)内の最大の素数
2nの範囲はP(x)2^+3≦2n≦P(x+1)^2+1)

ということがわかりました。


この式は必ず1以上になります。
なぜこの式になるのか証明します。

偶数を2n として、2nを構成する素数をP(a)、P(b)とします。

0からP(a)、2nからP(b)の距離は同じですので、0からnまでの素数の出現の仕方と2nからnの方向へのの素数の出現の仕方、両方を満たす素数が2nを構成する素数P(a)、P(b)となります。

(nを折り目にして半分に折り、0と2nを合わせるイメージ)


0からn、2nからnの中の素数の個数を考えてみます、
(素数定理オイラー積の考えと同じです)

0からnのときは√n以下の最大の素数をP(y)とし、P(1)~P(y)までの素数までを使って考えます。

0からnの場合は
(1―1/2)(1―1/3)…(1―1/P(y))…①

2nからnの場合は√(2n―2)以下の最大の素数をP(x)とし、P(1)~P(x)までを使って考えます。
(2nではなく2n―2の理由は2n―1が1とのペアになる為です)


0から2nと2nから0の共通の値を求める時には2nがP(1)~P(x)までの素数の倍数かどうかで変わってきます。
P(x)とP(y)が等しく2nがP(1)~P(x)までの全ての素数の倍数の場合、組数は

n が偶数の場合、n×①―1
nが奇数の場合、(n+1)×①―1

で2n内の組数の近似が得られます。

(実際の組数は素数の倍数の1番目は素数で倍数に含めない為、ペアになる所が増える場合があります。また、①から―1するのは0と2nを重ねて考えるとき、自然数1は倍数ではないのでのこりますが、素数でもないのでペアにならない為です。奇数の時nに+1するのは折り重ねた時にnはn一つで一組と数えられるからです。)

*実際は条件通りだと2nが10か24の時しかありませんが、
素数の倍数とそうでない所を分けると条件通りなら、真ん中(つまりnの所)で左右対象になっています。
あくまでも素数も倍数に含めた場合ですが、
nで折り曲げて重ねると素数の倍数とそうでない所は重なります。
素数の倍数でない所は新しい素数同士のペアになっています、求め方は素数定理と同じですが1の部分はペアにならないため―1します。
(例)2n=24、P(y)=3
12×1/2×2/3―1
=3
となります。

2nが素数の倍数でない場合(必ず2の倍数ではありますが)0からと2nからの倍数の消える所が異なる為、

2nの約数になってない素数がある場合は、
①の式の
(1―1/P)が(1―2/P)

となります。

また、P(x)とP(y)が異なる時は、
①の式の
P(y)までの素数の2nの約数になってない素数の所のみ
(1―1/P)が(1―2/P)になります。

(例) 2nが100の場合
P (y)=5、P(x)=7
求める組数をf(x)とすると、

f(x)≒50×(1/2)×(1/3)×(4/5)×(6/7)―1
≒4.71

実際の組数は6

実際の値より少し誤差がありますが、
理由は、P(1)~P(x)の素数のペアをカウントしてないのと、約数になってない素数で割ると割りきれない為です。

これでf(x)をざっくりと計算できますが全ての2nに当てはめるのは大変なので、f(x)以下で1以上になるように変形します。
P(2)~P(x)の全てが2nの約数になってないと考えると①の式が

(1―1/2)(1―2/3)…(1―2/P(x)) …②
となり、かっこ内を計算すると

1/2×1/3×3/5×5/7…P(x)―2/P(x)
となりますが、これは素数の差が2の時に前の数の分母と次の数の分子で約分できる事がわかります。

そこで素数の間の奇数も
(奇数―2)/奇数
という形で掛けてみます。

するとP(x)が大きくなるほど計算式の答えは小さくなりますが、こうなります

(1/2)×(1/3)×(3/5)×(5/7)×(7/9)×(9/11)…

これだと途中全てが約分できるので

1/2×1/P (x)
=1/2P(x)
となります、最後に―1するところは1とのペアが素数かどうかで決まりますが、数が十分大きい時には誤差の割合的には無視できるほど小さくなっているので省きます。

これにnを掛けると

n/2P(x)となり、
2nの最小はP(x)^2+3なのでnの最小は(P(x)^2+3)/2
2Pで割ると(P(x)^2+3)/4P(x)となり、
これはPが3以上、つまりnが6以上の時に1以上になります。

2n内の素数のペアの数はそれ以上なので
ゴールドバッハ予想は正しい事がわかります。


素数定理はおおよその個数を求める公式ですが、その元になる
n(1―1/2)(1―1/3)(1―1/5)…(1―1/P(y))
は、n個並んでいる自然数から素数の倍数を取り除いていくという意味があります。P(y)までの素数自身も取り除いてしまっているのと、P(y)までの素数でnの約数になってない素数はnを割りきれないことと、1は素数ではないが取り除いていない事が誤差の原因です。
素数の倍数を取り除くと言うことは、素数2
の場合、n全体を2aと2a+1に分け、2aを取り除いているため
1―1/2となっています。他の素数も同じです。
ゴールドバッハ予想を考えるとき、
0から2nまでをnで折り曲げたときにnの約数になってない素数は取り除く部分が2倍になるのは、
例えば、2nが100の場合で素数が3を考えると、
0からnをみると3aが3の倍数ですが、
2nからn方向だと3a―2が3の倍数になっています。
3aと3a―2の二つを取り除くので
1―2/3
となります。
素数定理と原理は同じなのでnを大きくすると誤差の比率は小さくなります。
そして、n/2Pはnが大きくなるほど実際の数値とは差が出ます。
組数f(n)は
n/2P < f(n) < n/ln(n)
の範囲で増減しながら少しずつ大きくなります。
増減するのはP(y)までの素数がnの約数になってるかどうかで変わります、約数になってる素数が多い程組数は多くなります。

以上で証明を終わります。

excel VBA 数学教室のBlog cat様より、
ゴールドバッハ予想における2nの偶数を構成する素数ペアの数値解析の途中経過を記事にしていただきました!

素数のペアの個数をグラフで見ることができます。
証明がより理解しやすくなると思いますので、是非見てください!

excel VBA 数学教室
[特別研究記事] 偶数を構成する素数ペアの数値解析
http://excelmath.atelierkobato.com/prime-pair/#comment-226

フォーチュン予想についての考察

フォーチュン数(-すう、Fortunate number)は、ある自然数 n に対して、pn# + m が素数となるような最小の整数 m (ただし1

素数を求める公式

私が考えた素数の公式です。

P=奇素数

P =2a+1
a≠2xy+x+y 
(x、y、は自然数、a≠2xy+x+yの自然数)

ちなみに双子素数

(Px、Py)=6A±1
A≠6xy±x±y
(x、y、は自然数、A≠6xy±x±yの自然数)





オススメ記事!
ゴールドバッハ予想の証明!
http://prime-number.hateblo.jp/entry/2017/05/24/224201

ルジャンドル予想の証明(未完成)

はじめましてカズキです。

ルジャンドル予想の証明についてYouTubeにアップしています。

興味がありましたら是非一度見て頂けたら嬉しいです。

証明の内容は以下の通りです。
詳しくはYouTubeに動画をのせています。

動画1https://m.youtube.com/watch?v=I8ovJVl12yM

動画2https://m.youtube.com/watch?v=jv9Vau2w7c8

動画3https://m.youtube.com/watch?v=_pznEk9csvQ


任意の素数P(n)の2乗からP(n+1)の2乗-1までの範囲ではP(1)~P(n )の合成数素数に分ける事ができます。
自然数をP(1)~P (n)の合成数とその他に分けた時(その他は素数素数候補になります)P(1)~P(n)の合成数が並ぶ最大は2P(n-1)-1となります。
素数間の距離は2P(n-1)となり、
P(n+1)をP(x)とおきかえると、P(n - 1)はP(x-2)となり、
P(x)の2乗より小さい範囲の素数間の距離は最大でも2P(x-2)となり、2P(x-2)より小さくなることはありますが、2P(x-2 )より大きくなることはありません。
自然数nの2乗とn+1の2乗の間は2n、
自然数n+1以上で最小の素数をP(x)とすると、P(x-2 )はnより小さくなります。
n+1の2乗はP(x)の2乗以下なので、素数間の距離は最大でも2P(x-2 )。
2nの範囲に収まるので、必ず素数がでてきます!