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カズキの素数研究ブログ

主に私なりに考えた素数の事を書いていきたいと思います。

ゴールドバッハ予想の証明

ゴールドバッハ予想について証明したいと思います。(最後の方の文章一部訂正致しました、申し訳ありません。)

ゴールドバッハ予想とは

全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる

という予想です。

結論から言うと、


偶数を2nとすると、nが6以上のとき、2nを構成する素数P(a)、P(b)の組数は

n/2P(x) 以上存在する。

(P(x)^2は2n―2内の最大のP^2、
2nの範囲はP(x)2^+3≦2n≦P(x+1)^2+1)

ということがわかりました。


この式は必ず1以上になります。
なぜこの式になるのか証明します。

偶数を2n として、2nを構成する素数をP(a)、P(b)とします。

0からP(a)、2nからP(b)の距離は同じですので、0からの素数の出現の仕方と2nからの素数の出現の仕方、両方を満たす素数が2nを構成する素数P(a)、P(b)となります。

(nを折り目にして半分に折り、0と2nを合わせるイメージ)


0からn、2nからnの中の素数の個数をオイラー積で考えてみます、

0からnはn以下の最大のP(y)^2を調べ、そのP(1)~P(y)までの素数までを使って考えます。

0からnの場合は
(1―1/2)(1―1/3)…(1―1/P(y))…①

2nからnの場合はP(x)^2を2n―2以下で考えます。
(2nではなく2n―2の理由は2n―1が1とのペアになる為です)


0から2nと2nから0の共通の値を求める時には2nがP(1)~P(x)までの素数の倍数かどうかで変わってきます。
P(x)とP(y)が等しく2nがP(1)~P(x)までの全ての素数の倍数の場合、組数は

n が偶数の場合、n×①―1
nが奇数の場合、(n+1)×①―1

で2n内の組数の近似が得られます。

(実際の組数は素数の倍数の1番目は素数で倍数に含めない為、ペアになる所が増える場合があります。また、①から―1するのは0と2nを重ねて考えるとき、自然数1は倍数ではないのでのこりますが、素数でもないのでペアにならない為です。奇数の時nに+1するのは折り重ねた時にnはn一つで一組と数えられるからです。)

2nが素数の倍数でない場合(必ず2の倍数ではありますが)0からと2nからの倍数の消える所が異なる為、

2nの約数になってない素数がある場合は、
①の式の
(1―1/P)が(1―2/P)

となります。

また、P(x)とP(y)が異なる時は、
①の式の
P(y)までの素数の2nの約数になってない素数の所のみ
(1―1/P)が(1―2/P)になります。

(例) 2nが100の場合
P (y)=5、P(x)=7
求める組数をf(x)とすると、

f(x)≒50×1/2×1/3×4/5×6/7―1
≒4.71

実際の組数は6

実際の値より少し誤差がありますが、
理由は、P(1)~P(x)の素数のペアをカウントしてないのと、約数になってない素数で割ると割りきれない為です。

これでf(x)をざっくりと計算できますが全ての2nに当てはめるのは大変なので、f(x)以下で1以上になるように変形します。
P(2)~P(x)の全てが2nの約数になってないと考えると①の式が

(1―1/2)(1―2/3)…(1―2/P(x)) …②
となり、かっこ内を計算すると

1/2×1/3×3/5×5/7…P(x)―2/P(x)
となりますが、これは素数の差が2の時に前の数の分母と次の数の分子で約分できる事がわかります。

そこで素数の間の奇数も
(奇数―2)/奇数
という形で掛けてみます。

するとP(x)が大きくなるほど計算式の答えは小さくなりますが、こうなります

1/2×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11…

これだと途中全てが約分できるので

1/2×1/P (x)
=1/2P(x)
となります、最後に―1するところは数が十分小さくなっているので省きます。

これにnを掛けると

n/2P(x)となり、
2nの最小はP(x)^2+3なのでnの最小は(P(x)^2+3)/2
2Pで割ると(P(x)^2+3)/4P(x)となり、
これはPが3以上、つまりnが6以上の時に1以上になります。

2n内の素数のペアの数はそれ以上なので
ゴールドバッハ予想は正しい事がわかります。

ゴールドバッハ予想について

ゴールドバッハ予想について考えてみました。

結果

偶数を2nとすると、nが6以上のとき、2nを構成する素数P(a)、P(b)の組数は

n/2P(x)以上存在する。

(P(x)^2は2n―2内の最大のP^2、
2nの範囲はP(x)2^+3≦2n≦P(x+1)^2+1)

ということがわかりました。

証明は後々やりたいと思います。

フォーチュン予想についての考察

フォーチュン数(-すう、Fortunate number)は、ある自然数 n に対して、pn# + m が素数となるような最小の整数 m (ただし1

素数を求める公式

私が考えた素数の公式です。

P=奇素数

P =2a+1
a≠2xy+x+y 
(x、y、は自然数、a≠2xy+x+yの自然数)

ちなみに双子素数

(Px、Py)=6A±1
A≠6xy±x±y
(x、y、は自然数、A≠6xy±x±yの自然数)


ルジャンドル予想の証明!

はじめましてカズキです。

ルジャンドル予想の証明をYouTubeにアップしています。

興味がありましたら是非一度見て頂けたら嬉しいです。

証明の内容は以下の通りです。
詳しくはYouTubeに動画をのせています。

動画1https://m.youtube.com/watch?v=I8ovJVl12yM

動画2https://m.youtube.com/watch?v=jv9Vau2w7c8

動画3https://m.youtube.com/watch?v=_pznEk9csvQ


任意の素数P(n)の2乗からP(n+1)の2乗-1までの範囲ではP(1)~P(n )の合成数素数に分ける事ができます。
自然数をP(1)~P (n)の合成数とその他に分けた時(その他は素数素数候補になります)P(1)~P(n)の合成数が並ぶ最大は2P(n-1)-1となります。
素数間の距離は2P(n-1)となり、
P(n+1)をP(x)とおきかえると、P(n - 1)はP(x-2)となり、
P(x)の2乗より小さい範囲の素数間の距離は最大でも2P(x-2)となり、2P(x-2)より小さくなることはありますが、2P(x-2 )より大きくなることはありません。
自然数nの2乗とn+1の2乗の間は2n、
自然数n+1以上で最小の素数をP(x)とすると、P(x-2 )はnより小さくなります。
n+1の2乗はP(x)の2乗以下なので、素数間の距離は最大でも2P(x-2 )。
2nの範囲に収まるので、必ず素数がでてきます!